# Kockázatsemleges valószínűségek A replikációs ár mint diszkontált várható érték a q súlyokkal; a P és a Q mérték szerepe. „Az egylépéses binomiális modell” leckében a call ára egy replikáló portfólió költségeként adódott: $C_0 = \Delta S_0 + B$. Ez a lecke ezt az árat a két lehetséges kifizetés diszkontált súlyozott átlagaként írja fel. A súlyok valószínűségként viselkednek; ezek a **kockázatsemleges valószínűségek**, amelyeket minden későbbi árazási modell használ. ## A kiinduló modell Az egylépéses modellt változatlanul hagyjuk: a részvény $S_0$-ról $uS_0$-ra vagy $dS_0$-ra lép, a kötvény a periódus alatt $(1+r)$-szeresére nő, és $d < 1+r < u$. Az opció felfelé állapotban $C_u$-t, lefelé állapotban $C_d$-t fizet. A felfelé állapot valós valószínűsége $p$, ahol $0 < p < 1$. ## A replikációs ár átírása Induljunk ki az előző lecke replikáló portfóliójából: $$ \Delta = \frac{C_u - C_d}{(u-d)S_0}, \qquad B = \frac{uC_d - dC_u}{(u-d)(1+r)}. $$ Adjuk össze $\Delta S_0$-t és $B$-t, közös nevezőre hozva $(u-d)(1+r)$-rel: $$ C_0 = \frac{(1+r)(C_u - C_d) + uC_d - dC_u}{(u-d)(1+r)}. $$ Csoportosítsuk a $C_u$-t és a $C_d$-t tartalmazó tagokat: $$ C_0 = \frac{1}{1+r}\left[\frac{(1+r) - d}{u-d}\,C_u + \frac{u - (1+r)}{u-d}\,C_d\right]. $$ Legyen $$ q = \frac{(1+r) - d}{u - d}, \qquad 1 - q = \frac{u - (1+r)}{u-d}. $$ Ekkor az ár alakja $$ C_0 = \frac{1}{1+r}\big[q\,C_u + (1-q)\,C_d\big]. $$ ## A $q$ mint valószínűség A $d < 1+r < u$ arbitrázsmentességi feltétel miatt a $(1+r) - d$ számláló pozitív és kisebb $u - d$-nél, tehát $0 < q < 1$. A $q$ és $1-q$ súly pozitív, összegük egy. Két kimenetelen egy valószínűséghez ennyi kell. Jelölje $\mathbb{Q}$ azt a valószínűségi mértéket, amely a felfelé állapotnak $q$ valószínűséget ad; ekkor az ár $$ C_0 = \frac{1}{1+r}\,\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[X], $$ ahol $X$ az 1. időpontbeli kifizetés. Ugyanez a képlet bármely kifizetésre érvényes, mert a levezetés sehol nem használta ki a call alakját. Ha az arbitrázsmentességi feltétel sérül, $q$ kiesik a $(0,1)$ intervallumból, és a képletnek nincs értelme; ez összhangban van azzal, hogy egy ilyen piacon egyáltalán nincsenek konzisztens árak. > **Kockázatsemleges árazás.** Ha $q = \frac{(1+r)-d}{u-d}$, bármely $X$ kifizetés arbitrázsmentes ára $\frac{1}{1+r}\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[X]$: a $\mathbb{Q}$ szerinti várható kifizetés, a kockázatmentes kamattal diszkontálva. ## A valós $p$ valószínűség nem szerepel A $q$ képletében csak $u$, $d$ és $r$ szerepel, a valós $p$ valószínűség nem. Két befektető, akik nem értenek egyet abban, mennyire valószínű a felfelé lépés, mégis ugyanazt az opcióárat kapja, ha $S_0$-ban, $u$-ban, $d$-ben és $r$-ben egyetértenek. Ennek oka a replikációs érv: a portfólió minden állapotban reprodukálja a kifizetést, így közömbös, milyen gyakran következnek be az egyes állapotok. A valós valószínűség a részvényáron keresztül már hat. Ha a piac nagyon valószínűnek tartja a felfelé lépést, felveri $S_0$-t, és $S_0$ bemenő adat. Adott $S_0$ mellett viszont az opció ára már nem függ tovább $p$-től. ## Kidolgozott példa Használjuk az előző lecke számait: $S_0 = 100$, $u = 1{,}2$, $d = 0{,}9$, $r = 2\%$, $K = 100$, így $C_u = 20$ és $C_d = 0$. $$ q = \frac{1{,}02 - 0{,}9}{1{,}2 - 0{,}9} = \frac{0{,}12}{0{,}3} = 0{,}4, \qquad C_0 = \frac{0{,}4\cdot 20 + 0{,}6\cdot 0}{1{,}02} \approx 7{,}84. $$ Ez ugyanaz a 7,84, amelyet a replikáló portfólió adott. Tegyük fel most, hogy a felfelé lépés valós valószínűsége $p = 0{,}6$. Ha a $\mathbb{P}$ szerinti várható kifizetést a kockázatmentes kamattal diszkontáljuk, a **naiv árat** kapjuk: $$ \frac{1}{1{,}02}\,\mathbb{E}^{\mathbb{P}}[X] = \frac{0{,}6\cdot 20}{1{,}02} \approx 11{,}76. $$ Ha a call 11,76-on kereskedne, eladhatnánk, 7,84-ért felépíthetnénk a replikáló portfóliót, és kockázat nélkül megtarthatnánk 3,92-t. A naiv ár tehát hibás, és a hiba abból ered, hogy egy kockázatos kifizetést a kockázatmentes kamattal diszkontáltunk. ## A részvény hozama $\mathbb{Q}$ alatt $r$ Alkalmazzuk az árazási képletet magára a részvényre, amelynek kifizetése $uS_0$ vagy $dS_0$: $$ \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[S_1] = q\,uS_0 + (1-q)\,dS_0 = S_0\big(d + q(u-d)\big) = (1+r)\,S_0. $$ $\mathbb{Q}$ alatt a részvény várható hozama a kockázatmentes kamatláb. Innen a név: $\mathbb{Q}$ az a valószínűség, amely mellett egy kockázatsemleges befektető, aki a kockázatvállalásért nem vár többlethozamot, elfogadná a megfigyelt árakat. Másképp fogalmazva, a diszkontált részvényár várható értéke a mai ár, $$ \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[\frac{S_1}{1+r}\right] = S_0, $$ vagyis a diszkontált ár $\mathbb{Q}$ alatt **martingál**: várható jövőbeli értéke a jelenlegi értéke. A valós valószínűség szerint a részvény általában többet hoz. A $p = 0{,}6$ példában a várható növekedési szorzó $0{,}6\cdot 1{,}2 + 0{,}4\cdot 0{,}9 = 1{,}08$, azaz 8% várható hozam, szemben a $\mathbb{Q}$ szerinti 2%-kal. A 6% különbség a kockázati prémium. Képzeld el $\mathbb{Q}$-t egy szándékosan átsúlyozott dobókockaként: a lapok ugyanazok, de a súlyokat úgy választjuk, hogy minden forgalmazott termék átlagosan pontosan $r$-et hozzon. Számítási eszköz, nem előrejelzés. ## Naiv ár és arbitrázsmentes ár Az ábra rögzíti az $S_0 = 100$, $u = 1{,}2$, $d = 0{,}9$ és $K = 100$ értékeket, és két árat rajzol a valós $p$ valószínűség függvényében. A $\frac{1}{1+r}\mathbb{E}^{\mathbb{P}}[X]$ naiv ár $p$-vel nő, az arbitrázsmentes ár vízszintes egyenes. A kettő ott metszi egymást, ahol $p = q$. Mozgasd $p$-t, és figyeld meg, hogy csak a naiv ár és a $\mathbb{P}$ szerinti várható részvényhozam változik; aztán mozgasd $r$-et, és figyeld meg, hogy $q$ és az arbitrázsmentes ár változik, a $\mathbb{Q}$ szerinti várható hozam pedig mindig $r$. *[Interaktív ábra: real vs risk neutral](https://quantsandbox.dev/hu/guide/derivatives/risk-neutral)* ## $\mathbb{P}$ és $\mathbb{Q}$ szerepe - $\mathbb{P}$ azt írja le, ami ténylegesen történik. Előrejelzésre, kockázatmérésre és várható hozamok becslésére használjuk. - $\mathbb{Q}$-t a forgalmazott termékek árai határozzák meg. Replikálható derivatívák árazására használjuk. - A két mérték ugyanazokat a kimeneteleket tartja lehetségesnek; csak a rájuk tett súlyokban különböznek. ## Összefoglalás - A replikációs ár felírható $C_0 = \frac{1}{1+r}[qC_u + (1-q)C_d]$ alakban, ahol $q = \frac{(1+r)-d}{u-d}$. - Az arbitrázsmentesség, $d < 1+r < u$, pontosan a $0 < q < 1$ feltétel. - A valós $p$ valószínűség nem szerepel az árban; ha $\mathbb{E}^{\mathbb{P}}[X]$-et $r$-rel diszkontáljuk, hibás, arbitrálható árat kapunk. - $\mathbb{Q}$ alatt a részvény a kockázatmentes kamatot hozza, $\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[S_1] = (1+r)S_0$, és a diszkontált ár martingál. [Hasonlítsd össze a valós és a kockázatsemleges súlyokat a Binomiális laborban](https://quantsandbox.dev/hu/binomial) ## Interaktív laborok - [Binomiális opcióárazó fa kalkulátor](https://quantsandbox.dev/hu/binomial) --- Forrás: https://quantsandbox.dev/hu/guide/derivatives/risk-neutral Előző lecke: [Az egylépéses binomiális modell](https://quantsandbox.dev/hu/guide/derivatives/one-step-binomial) Következő lecke: [Többlépéses fák és visszafelé indukció](https://quantsandbox.dev/hu/guide/derivatives/multi-step-trees)