# Put–call paritás Két portfólió azonos kifizetéssel: modellfüggetlen kapcsolat a call és a put ára között. Ez a lecke pontos összefüggést vezet le egy európai vételi és egy európai eladási opció ára között. A „Pozíciók kombinálása” lecke szintetikus határidős ügyletét kapcsolja össze az „Arbitrázs és a határidős ár” lecke egy ár törvényével. A határidős árhoz hasonlóan az eredmény semmilyen modellt nem igényel a részvény mozgására. ## A keret Vegyünk egy európai callt és egy európai putot ugyanarra az osztalékot nem fizető részvényre, azonos $K$ kötési árral és $T$ lejárattal. Mai áruk $C_0$ és $P_0$. A részvény ára $S_0$, a folytonos kockázatmentes kamatláb $r$, így egy $T$-ben $K$-t fizető zérókuponos kötvény ma $Ke^{-rT}$-be kerül. A piaci feltevések ugyanazok, mint az „Arbitrázs és a határidős ár” leckében: nincs tranzakciós költség, $r$ kamaton lehet hitelt felvenni és pénzt elhelyezni, a shortolás megengedett. ## Két portfólió azonos kifizetéssel A „Pozíciók kombinálása” lecke szerint egy hosszú call és egy rövid put azonos kötési árral $$ (S_T - K)^+ - (K - S_T)^+ = S_T - K $$ összeget fizet $S_T$ bármely értéke mellett. Építsünk két portfóliót: - **A portfólió:** veszünk egy callt és eladunk egy putot. Mai költség $C_0 - P_0$. Kifizetés $T$-ben: $S_T - K$. - **B portfólió:** veszünk egy részvényt és felveszünk $Ke^{-rT}$ hitelt, amelyből $T$-ben $K$ tartozás lesz. Mai költség $S_0 - Ke^{-rT}$. Kifizetés $T$-ben: $S_T - K$. A B portfólió egy $K$ szállítási árú határidős ügylet részvénnyel és hitellel való replikálása, mint a cash-and-carry érvelésben. A két portfólió $T$-ben minden állapotban pontosan ugyanannyit fizet, így az egy ár törvénye szerint ma is ugyanannyiba kerülnek: $$ C_0 - P_0 = S_0 - K\,e^{-rT}. $$ Ez a **put–call paritás**. $C_0 + Ke^{-rT} = P_0 + S_0$ alakban így olvasható: egy call plusz a diszkontált kötési árnyi készpénz ugyanannyit ér, mint egy put plusz a részvény. Lejáratkor mindkét oldal $\max(S_T, K)$-t fizet. > Put–call paritás: $C_0 - P_0 = S_0 - Ke^{-rT}$ osztalékot nem fizető részvényre szóló, azonos kötési árú és lejáratú európai opciókra. Pusztán az arbitrázsmentességből következik. ## Számpélda Legyen $S_0 = 100$, $K = 100$, $r = 5\%$, $T = 1$. A jobb oldal $$ S_0 - K\,e^{-rT} = 100 - 100\,e^{-0{,}05} \approx 100 - 95{,}12 = 4{,}88. $$ A Black–Scholes-képlet, amelyet „A Black–Scholes-képlet” lecke vezet le, $\sigma = 20\%$ volatilitás mellett $C_0 \approx 10{,}45$ és $P_0 \approx 5{,}57$ árat ad. A különbség $4{,}88$, ahogy a paritás előírja. Más volatilitásnál mindkét ár megváltozik, de ugyanannyival, így a különbségük 4,88 marad. Tegyük fel, hogy egy árjegyző 11-ért kínálja a callt, a put ára pedig továbbra is 5,57. Ekkor $C_0 - P_0 = 5{,}43 > 4{,}88$, vagyis az A portfólió drága B-hez képest. Adjuk el A-t és vegyük meg B-t: eladjuk a callt, megvesszük a putot, megvesszük a részvényt és felveszünk $95{,}12$ hitelt. A mai pénzáramlás $$ 11 - 5{,}57 - 100 + 95{,}12 \approx 0{,}55, $$ $T$-ben pedig a pozíciók pontosan kioltják egymást: az eladott call és a megvett put együtt $-(S_T - K)$-t fizet, a részvény és a hitel $S_T - K$-t. A 0,55 kockázat nélkül nálunk marad. Az ábra rögzíti az $S_0 = 100$ és $r = 5\%$ értékeket, és $K$, $\sigma$, $T$ állítható. A grafikon egy hosszú call és egy rövid put együttes kifizetését rajzolja rá az $S_T - K$ határidős kifizetésre; a két vonal minden kötési árnál egybeesik. A kijelzők a $C_0$ és $P_0$ Black–Scholes-árat, a különbségüket és $S_0 - Ke^{-rT}$-t mutatják. Változtasd $\sigma$-t, és figyeld meg, hogy $C_0$ és $P_0$ is mozog, $C_0 - P_0$ viszont nem; az csak $K$-val és $T$-vel változik. *[Interaktív ábra: put call parity](https://quantsandbox.dev/hu/guide/derivatives/put-call-parity)* ## Mit mond meg a paritás, és mit nem A paritás **modellfüggetlen**: $S_T$ eloszlásától függetlenül érvényes, mert az érvelés sehol sem használ valószínűségeket. Összeköti a két árat, így az egyikből megkapjuk a másikat. Aki callokat áraz, az putokat is áraz: a put ára $P_0 = C_0 - S_0 + Ke^{-rT}$. Azt viszont nem mondja meg, mekkora bármelyik ár. A $C_0 - P_0$ különbséget rögzíti, de hogy mindkettő mekkora, azt a részvény volatilitása határozza meg. Ehhez már modell kell a részvényárra, amely „Az egylépéses binomiális modell” leckében kezdődik. Az eredmény a feltevéseire épül. Osztalék esetén a részvénylábat csökkenteni kell az osztalékok jelenértékével. Amerikai opcióknál a korai lehívás lehetősége megszünteti a pontos egyenlőséget, és csak egyenlőtlenségek maradnak. ## Egyszerű arbitrázsmentes korlátok Ugyanez a gondolatmenet modell nélkül is korlátozza a call árát. Felső korlát: a call sosem fizet többet a részvénynél, hiszen $K \ge 0$ esetén $(S_T - K)^+ \le S_T$. Ami mindig kevesebbet fizet, az nem kerülhet többe, tehát $C_0 \le S_0$. Alsó korlát: a call kifizetése sosem negatív, így $C_0 \ge 0$. Továbbá $(S_T - K)^+ \ge S_T - K$, tehát a call legalább annyit ér, mint a határidős jellegű B portfólió, amely $S_0 - Ke^{-rT}$-be kerül. Együtt: $$ \max\left(S_0 - K\,e^{-rT},\,0\right) \le C_0 \le S_0. $$ Az alsó korlát a paritásból is adódik: mivel $P_0 \ge 0$, $C_0 = P_0 + S_0 - Ke^{-rT} \ge S_0 - Ke^{-rT}$. A példában a call ára 4,88 és 100 közé kell essen. Ezek a korlátok tágak: kizárják az abszurd árakat, a tényleges szintet azonban a modellre hagyják. ## Összefoglalás - Egy hosszú call és egy rövid put azonos kötési árral és lejárattal $S_T - K$-t fizet, ugyanannyit, mint egy $Ke^{-rT}$ hitelből vett részvény. - Az egy ár törvénye szerint $C_0 - P_0 = S_0 - Ke^{-rT}$. - A paritás modellfüggetlen: összeköti a call és a put árát, de a szintjüket nem rögzíti. - Modell nélkül a call ára csak korlátozható: $\max(S_0 - Ke^{-rT}, 0) \le C_0 \le S_0$. > A tényleges opciós ár meghatározásához a következő leckék modellt adnak a részvényárra, kezdve egyetlen fel- vagy lefelé lépéssel. [Rakj össze callokból és putokból szintetikus határidős ügyletet a Kifizetés laborban](https://quantsandbox.dev/hu/payoff) ## Interaktív laborok - [Opciós kifizetési diagram és stratégiaépítő](https://quantsandbox.dev/hu/payoff) - [Black–Scholes-kalkulátor és opciós görögök](https://quantsandbox.dev/hu/black-scholes) --- Forrás: https://quantsandbox.dev/hu/guide/derivatives/put-call-parity Előző lecke: [Arbitrázs és a határidős ár](https://quantsandbox.dev/hu/guide/derivatives/no-arbitrage) Következő lecke: [Az egylépéses binomiális modell](https://quantsandbox.dev/hu/guide/derivatives/one-step-binomial)