# Konvergenciatételek: MCT, DCT és Fatou-lemma

Miért nem mindig cserélhető a határérték és a várható érték: elszökő tömeg, monoton és dominált konvergencia, Fatou-lemma és a konvergenciatípusok. Labor.

## Az eszközről

Vihető a határérték a várható érték alá? Nem mindig. Duplázd a tétet egy szabályos érmén, amíg nyersz: majdnem minden kimenetel 1 nyereséggel végződik, mégis minden szakasz várható értéke 0, mert a veszteségek egy nullához tartó halmazba zsúfolódnak, amelyet a határérték nem lát. Ezek az oldalak megmutatják, hová tűnik a tömeg, mely tételek akadályozzák meg az elszökését, és hogy a sorozatok különböző értelmekben konvergálhatnak: majdnem biztosan, valószínűségben vagy átlagban.

## Gyakori kérdések

### Mit mondanak a monoton és a dominált konvergencia tételei?

Monoton konvergencia: ha nemnegatív függvények egy határfüggvényhez növekednek, az integráljaik is a határ integráljához növekednek. Dominált konvergencia: ha a függvények konvergálnak, és mind egyetlen rögzített integrálható függvény alatt maradnak, az integráljaik a határ integráljához tartanak. Mindkettő olyan feltételt ad, amely mellett a határérték és a várható érték felcserélhető. Fatou lemmája csak a nemnegativitást kéri, és csak egyenlőtlenséget ad: a határ várható értéke legfeljebb a várható értékek határértéke.

### Hová tűnik a tömeg a tüskés példában?

Az n·1[0, 1/n) tüske, amely a 0 és 1/n közötti intervallumon n, máshol 0, minden n-re 1 várható értékű, de bármely rögzített kimenetelnél végül 0. Az egész tömege egy zsugorodó halmazban van. A határfüggvény majdnem biztosan 0, így a várható értéke 0, ami kisebb 1-nél. Fatou egyenlőtlensége bőven teljesül. Nincs olyan integrálható függvény, amely az összes tüske fölött lenne, ezért a dominált konvergencia nem alkalmazható.

### Mit próbáljak ki az oldalakon?

Az első oldalon válts az öt sorozat között, és hasonlítsd a határ várható értékét a várható értékek határértékével: a duplázó stratégia és a tüske veszít a tömegből, a dominált és a növekvő sorozat nem. A típusok oldalán hasonlítsd össze az írógép-sorozatot, a zsugorodó tüskét és az érmedobások mintaátlagát, és nézd meg, a konvergencia három értelme közül melyiknek felel meg mindegyik.

### A majdnem biztos konvergenciából következik az átlagban vett konvergencia?

Nem, ahogy a tüske mutatja: majdnem biztosan 0-hoz tart, de a várható értéke 1 marad. Az írógép-sorozat a másik irányba mutat példát: valószínűségben és átlagban kicsi lesz, miközben egyetlen kimenetelnél sem konvergál. A majdnem biztos konvergenciától az átlagban vett konvergenciáig felső korlát (dominancia) vagy egyenletes integrálhatóság vezet. Az átlagban vett konvergenciából mindig következik a valószínűségben vett, fordítva viszont csak további feltételekkel.

## Az elmélet

- [Konvergenciatételek](https://quantsandbox.dev/hu/guide/probability/convergence-theorems): Mikor egyezik az integrálok határértéke a határérték integráljával: elszökő tömeg, monoton konvergencia, Fatou-lemma, dominált konvergencia, sorok.
- [Konvergenciafajták és a nagy számok törvénye](https://quantsandbox.dev/hu/guide/probability/modes-of-convergence): Majdnem biztos, sztochasztikus, átlagbeli és eloszlásbeli konvergencia: különbségek, Borel–Cantelli-lemma, egyenletes integrálhatóság, nagy számok törvényei.
- [A nagy számok törvénye és a centrális határeloszlás-tétel](https://quantsandbox.dev/hu/guide/stochastic/law-of-large-numbers-clt): Miért állnak be az átlagok, milyen gyorsan, és miért bukkan fel a normális eloszlás: a Monte Carlo és a Brown-határátmenet mögötti két tétel.
- [Feltételes várható érték és martingálok](https://quantsandbox.dev/hu/guide/stochastic/martingales): Feltételes várható érték a múlt ismeretében, igazságos játékok, miért nem győzhető le egy martingál fogadási stratégiával, és a diszkontált árak Q alatt.

Az interaktív eszköz megnyitása: https://quantsandbox.dev/hu/convergence