# Feltételes várható érték mint legjobb tipp

A feltételes várható érték mint a legjobb tipp abból, amit tudsz: átlagold X-et az információ minden blokkján, majd súlyozd át P-t Q-ba. Interaktív labor.

## Az eszközről

Egy σ-algebrára vett feltételes várható érték X legjobb becslése, ha csak azt tudod, az információ melyik blokkjába esett a kimenetel: X átlaga azon a blokkon. A becslés maga is véletlen, hiszen a blokkal együtt változik, de csak azt használja, amit a megfigyelő lát. Minél több az információ, annál kisebbek a blokkok, és annál közelebb kerül a becslés X-hez. A második oldal a valószínűségi mértéket súlyozással cseréli, ez a Girsanov-tétel és a kockázatsemleges árazás alapötlete.

## Gyakori kérdések

### Mi a feltételes várható érték?

Egy 𝒢 σ-algebra esetén E[X | 𝒢] az a 𝒢-mérhető valószínűségi változó, amely a 𝒢 minden eseményén átlagosan megegyezik X-szel. Ha 𝒢-t blokkok generálják, ez egyszerűen X blokkátlaga, amelyet a blokk minden kimeneteléhez hozzárendelünk. Ez X legjobb előrejelzése a legkisebb négyzetek értelmében, csak a 𝒢-ben lévő információt használva. Ha semmire nem feltételezünk, a szokásos várható értéket kapjuk, ha mindenre, magát X-et.

### Mi a toronytulajdonság?

A becslések átlaga visszaadja az egyszerű várható értéket: E[E[X | 𝒢]] = E[X]. Általánosabban: ha előbb egy finom, majd egy durvább σ-algebrára feltételezünk, az eredmény ugyanaz, mintha rögtön a durvábbra feltételeztünk volna. A később elfelejtett információ nem hagy nyomot. Ezért marad konzisztens az időben a martingál, az a folyamat, amelynek a jövőre vonatkozó legjobb becslése a mai érték.

### Mit próbáljak ki az oldalakon?

Válaszd ki, mit tudsz két kockáról, és nézd egy érték, például a nagyobbik kocka becslését: minden blokkon állandó. Hasonlítsd a becslés négyzetes hibáját a szórásnégyzettel, ami az információ nélküli tipp hibája, és nézd, ahogy a hiba a blokkok finomodásával csökken. A második oldalon súlyozd át a mintákat dQ/dP-vel, és nézd, hogyan lesz a standard normálisból eltolt normális egyetlen pont elmozdítása nélkül.

### A mértékcsere a kimenetelek megváltoztatása?

Nem. A kimenetelek és az értékeik pontosan ugyanazok maradnak, csak a súlyok változnak. Az új Q mértéket úgy kapjuk, hogy minden kimenetelhez dQ/dP súlyt rendelünk, és a Q alatti várható értékek a súlyozott változó P-várható értékei. A Girsanov-tétel megadja ezt a súlyt egész Brown-pályákra. Az árazásban a valós P és a kockázatsemleges Q minden pályát közösen használ, csak abban különböznek, mennyit számít egy-egy pálya.

## Az elmélet

- [Feltételes valószínűség és feltételes várható érték](https://quantsandbox.dev/hu/guide/probability/conditioning): Feltételezés egy eseményre, Bayes-tétel, blokkátlagok egy partíción, feltételes várható érték σ-algebrára nézve, legjobb előrejelzés, toronyszabály.
- [Mértékelmélet az opcióárazásban](https://quantsandbox.dev/hu/guide/probability/measure-theory-pricing): Hogyan találkozik a pálya mértékelmélete és valószínűségszámítása az opcióárazásban: ekvivalens mértékek, sűrűségek, információ, feltételes várható érték.
- [Feltételes várható érték és martingálok](https://quantsandbox.dev/hu/guide/stochastic/martingales): Feltételes várható érték a múlt ismeretében, igazságos játékok, miért nem győzhető le egy martingál fogadási stratégiával, és a diszkontált árak Q alatt.
- [Mértékcsere és a Girsanov-tétel](https://quantsandbox.dev/hu/guide/stochastic/change-of-measure): Valószínűségek átsúlyozása sűrűséggel, ekvivalens mértékek, a Girsanov-tétel és a kockázat piaci ára.

Az interaktív eszköz megnyitása: https://quantsandbox.dev/hu/conditional-expectation